2019年高考数学难度创新高，我们该怎样培养学生的数学学科素养？
数学定理是高中数学教学的重要内容，是培养学生数学思维品质与关键能力的重要途径。怎样让学生通过自主学习获取知识，领悟公式和定理蕴含的思想方法，进而灵活应用定理解决问题？本文以课堂实例的方式，分享了如何利用信息技术，构建数字化教学新范式，进而促进学生数学学科核心素养发展。
高中数学定理课数字化教学探索
——以正弦定理为例
文 | 刘秋蔚
数学定理是揭示和反映数学概念本质属性及属性间联系的一种重要形式，是高中数学教学的重要内容。数学定理教学是培养学生数学思维品质与关键能力的重要途径。
以什么样的方式展示公式和定理的发生发展过程？怎样让学生通过自主学习获取知识，并领悟公式和定理蕴含的思想方法，进而灵活应用定理，解决问题？如何让基于平板电脑、各种数学交互软件的教学模式发挥实效？如何让学生的数学学科素养得到更好发展？
为破解这些问题，笔者尝试探索利用信息技术，构建数字化教学新范式，促进学生数学学科核心素养发展。
实施以数学学科素养为指向的数学教学是让学生主动学习，个性化探究学习。
高中数学定理课一般预设学习目标如下：表述公式与定理内容；掌握证明及推导方法；明确使用条件、适用范围及应用规律；对定理公式引申与推广。传统的教学流程是，教师先罗列定理公式等重点知识清单，再按题型分类介绍典型例题，接着配以大量练习进行强化。这样教学，学生往往是被动接受，难以举一反三，更难创新。
信息化条件下，学生的学习环境逐渐转变为课堂、网络、社会全空间，教学内容逐渐转变为“以教材为主，数字化教学资源配合”，学生不受“教室”这个固定环境限制。于是，笔者尝试“微翻转与问思行合一”的教学模式，坚持“数学教学是数学活动的教学”“数学活动是思维的活动”的理念，利用平板电脑、作业平台、几何画板等辅助认知。
课前，学生借助平台观看微课，自主学习，借助平台完成前测，确定问题；课上，师生共解，研讨问题，完成二次检测和当堂反馈；最后，利用信息技术手段，体验数学思想的运用，总结深化，达成目标。
教师只要抓住课堂教学这个中心环节，坚持以学生为主体、以教师为主导、以问题为中心，线上线下多维交互，践行“问题—探究—行动”的课堂教学循环，就能帮助学生提高能力，发展学科素养。
下面结合必修5正弦定理第1课时的教学，谈谈笔者的探索与收获。
第一步：创建（一次备课，发布任务），教师制作微课，导入检测题。
第二步：学习（自主学习，反馈交流），学生观看微课，按照任务单预习并反馈。
第三步：检查（获取学情，二次备课），学生在线反馈问题，登录作业平台自测。教师依据课程标准并结合学生个性与共性情况确定目标，明确课堂教学内容和教学活动，使学生的主体性得到体现。
微课不是新鲜事物。要实现在线资源与实体课堂融合，就需要充分发挥两者的优势。笔者制作微课，并坚持自己的设计视角——力求关联数学核心素养，以问题串的形式激发学生对新问题的探究欲望（学生回家后可以反复观看微课），增进师生的信任和互动。
这节微课，笔者引入“测量河的两岸A、B两点间距离”实际问题，构造求解斜三角形的边角关系问题的数学模型，证明教材中正弦定理的作高法。
具体来讲，此微课的设计视角：一是引导学生把一般三角形转化为直角三角形，传授化归的数学思想为课堂上正弦定理的证明埋下伏笔；二是培养学生数学建模能力，指导他们在熟悉的情境中，用数学的语言表达现实世界，运用学习过的数学模型求解；三是培养学生逻辑推理能力，使其对于与旧知识有较大关联的新问题，能够运用学过的方法推理问题中的逻辑关系；四是给出一种作高法证明，以利于学生前测做题（教师可针对学生的反馈问题二次备课）。
课前检测题目的选择是关键，要紧紧围绕教学目标。笔者一般设计5道填空题或选择题，包括１道预设的“丢分题”（利于研讨）。
课前，教师利用网络平台进行督促和管理，实时反馈，利用互联技术跟踪学生的学习行为，为课堂的研讨提供依据。
定理公式课的课堂教学引入方式有很多种，比如实际引入、类比引入、实验引入等。课前的微课已结合实际情境，课堂上笔者用几何画板通过动画引入（如图1）。
图1 动画引入
根据初中所学几何知识可知，△ABC的边角关系符合这样的规律：大边对大角，小边对小角（用几何画板跟踪数据验证）。这是一种定性的描述。能否对任意三角形中边角关系进行定量表达呢？笔者借助几何画板的度量功能，引导学生继续观察的计算结果，猜测三角形的边角关系有更准确的定量表达方式。就这样引入课题，提出猜想。
设计意图：利用学生初中所学的三角形中的边角关系引入课题，结合最近发展区，通过动画演示提出问题，发展学生的数学抽象思维能力，激发学生的求知欲。
教师反馈课前网上微课完成情况，统计前测正确率。
学生谈自学收获，并提出需解决的问题。
教师公布问题整理情况，确定重点研讨内容。
设计意图：课堂教学目的是通过交流、释疑，提升学生能力。学习，就是自我发问。学生学会提问，才会思考。学生只有超越记住观察结果的阶段，才真正开始学习。课堂教学是根据学生的个性、共性问题及网上前测反馈开展的，让学生的主体性得到体现。
师：刚才操作中几组数据的度量仅是实验结果，猜想要成为定理还需要证明。请各组讨论一下，有哪些证明方法？能否通过严格推理证明猜想吗？
学生组内讨论后，全班交流——利用几何画板软件的书写、动画功能，交流多种证明方法（如图２）。
图2 交流证明方法（截图）
作高法：转化为左右两个直角三角形（高是桥梁）。
外接圆法：作直径转化出一个直角三角形，迁移圆周角（用定义）。
面积法：不作辅助线，直接得到乘积式。
师：有疑问么？（提示：向量法）
课后小组探究。
设计意图：学生应用已学的定理和知识通过严谨的逻辑推理来证明，清晰呈现数学定理的形成过程：探究猜想，推理验证，总结不同证明方法的优势。这样，不仅加深对正弦定理的理解，而且体现了学习的认知规律，有利于渗透数学思想，揭示数学内在的逻辑，培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算能力和创新意识。
“微翻转与问思行结合”是一种数字化教学新模式——以微课的形式实施微翻转，让学生自主学习课前微课完成任务单，留出更多课堂时间研讨。这种新模式优势明显：一方面，教师能事先了解学生在证明定理上的思维障碍，判断可能出现的问题，对活动进行充分预设，使教学有方向，有目标，更富实效.
另一方面，课堂上，师生互动，碰撞灵感，教师利用课堂上生成的资源来组织优化研究内容，让学生充分经历证题思路的分析探索过程，培养学生分析问题和解决问题的能力，引导学生进行知识建构（分组协作），如此设计定理课更能保证课堂上的研讨时间和研讨效率。
教师板书正弦定理数学表达式，并提出问题，对表达式有什么样的结构特征和定理适用于解决哪类问题展开研讨，深化对定理的理解。
学生组内研讨，班内交流，陈述研讨结果。
设计意图：在定理公式课教学中，引导学生理解定理的文字语言、符号语言、表达式的结构特征，欣赏表达式的和谐美和对称美，以及定理所体现的美学价值；探究定理应用的条件，以便正确应用公式和定理，提高学生实际应用的能力；引导学生结合图形对定理进行符号化、几何语言化、公式变形化，让学生洞悉知识的内部联系，更灵活巧妙地应用公式。总之，是将知识有效纳入学生认知体系，加大思维量，提高学生思维的灵活性。
笔者的定理课教学设计最根本的改进是：依托技术平台，课前精准设计，课中精致教学，基于师生实际、教学内容和教学媒体构建教学模式，将学生课前的自主学习和课堂上的互动真正地引向更高层次——深入探究数学定理公式。这比知晓数学定理更为重要。
教师纠正学生前测反馈的普遍错误：多解误区。已知△ABC中两边a、b和其中一边的对角∠A，以∠A为锐角的情形为例，判断符合条件的△ABC的个数，并填写学案表格。
学生组内研讨，交流。各组以投射屏幕的方式展示研讨结果。
教师利用几何画板动画演示解的情况，组织学生互相评价。
设计意图：利用几何画板动画功能突破多解难点；在学生展示结果的同时进行纠错，巩固对正弦定理的理解与应用。微翻转课堂上研究的都是学生看微课后不能自行解决或需进一步研讨的内容。笔者让学生带着问题走进课堂，自主合作探究解决问题，并带着更多的问题走出课堂。
学生的学习兴趣不是由授课内容决定，而受问题影响。在探究过程中，学生表现出一种在新旧知识间建立联系的兴趣倾向，很快提出了解决方案，其学习能力、解决问题能力得到提高。这样改进定理课教学，丰富了教学内容，开发学生的数学潜能，师生都能得到发展。
教师：在△ABC中，已知b=1，c=３，∠B=30°，求∠C、∠A、a。
学生直接用正弦定理求解，并在平板电脑上答题提交，即时展示，相互评价。
设计意图：利用作业平台，拍照上传答案，及时反馈。学生评价、补充总结，组长检查组内情况，教师进行个别辅导。教师利用平台展示学生答案，在学生互评后推荐规范解答，让学生掌握定理的应用，规范推理书写格式，加深理解定理，掌握正弦定理在解三角形中的应用。
笔者在数字化辅助上大胆放手——因为学生使用平板电脑、作业平台等各种辅助工具比成人快得多，教师的工作主要是布置探究任务，推送资源，整合信息等工作则逐步由学生自主完成，如此有利于培养学生的动手能力、学习能力以及数学思想方法的应用能力。
教师利用平台布置3道填空或选择题，要求现场答题提交。
学生当堂完成3道检测题，用平板电脑作答后提交。
设计意图：教师针对课堂上重点研讨内容推送相关题目，让学生在作业平台上传答案（系统反馈结果），发现问题后让学生通过组内互助解决。这个环节能否当堂进行取决于前面各环节所占用的时间，如果时间不够可以只推送1道选择题，或者调整到第2课时的前测进行。
以上（六）、（七）这两项也属于课堂上的在线评价。网络平台能跟踪学生学习过程，记录学习行为，显示学习效果，从课前自测到课上在线测试的数据统计都有记录。教师参考这些数据以及学生的课堂参与度等，可以评价学生的数学思维策略、解决问题的能力、反思意识、创新意识，赋予学生更强的信心。
学生在知识方面、能力方面和思想方法上进行总结。
教师布置作业：回家在平台上限时答题。
设计意图：通过多维度分析，总结数形结合、转化、分类讨论、方程等数学思想方法，加深学生对本节课重点核心知识和数学思想方法的把握，提升学生的数学素养。
营造数字化教学环境，实现新型教与学方式，变革传统的课堂教学结构是教学系统结构性变革的三个基本属性。数学定理公式都是前人已经得出的经验，之所以还要学生通过运算和推理来证明，就是希望学生超越经验，不断提高思维的精确性和严密性——这是其他学科无法比拟的。借助数字化手段，通过“微翻转与问思行合一”的实践演绎精彩，“让学生会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界”。
（作者系天津市第十四中学教师）
文章来源：《中小学数字化教学》2019年第5期
责任编辑：祝元志
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监 制：朱哲
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